理論的基盤

一度も計算が行われる前に、私たちの探求が無駄にならないように確認する必要があります。まず 初期値問題（IVP）：

$$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$$

定理 2.4.2 は、$t_0$ のある区間で与えられた問題の解 $y = \phi(t)$ が一意に存在することを述べています。この保証により、数値的なアプローチが正当化されます。もし解が存在しない、あるいは一意でない場合、アルゴリズムは意味のない結果に収束したり、完全に発散してしまう可能性があります。

積分による橋渡し

ほぼすべての数値的手法は、微積分の基本定理から導かれる同じ数学的根幹を持っています。解 $\phi(t)$ が一つの点から次の点に移行する様子を正確な恒等式として表現できます：

$$\phi(t_{n+1}) - \phi(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} \phi'(t) dt$$

微分方程式 $\phi'(t) = f(t, \phi(t))$ を代入することで、 再構成公式：

$$\phi(t_{n+1}) = \phi(t_n) + \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, \phi(t)) dt$$

連続から離散へ

コンピュータは未知の関数 $\phi(t)$ の積分を評価できません。そのため、私たちは 離散化します。最も簡単なケースでは、$f(t, \phi(t))$ の下の面積を幅 $h = t_{n+1} - t_n$、高さを初期点 $f(t_n, y_n)$ で取った長方形として近似します。曲がった積分から塗りつぶされた長方形へのこの飛躍（図 8.1.1 参照）が オイラー公式：